Résolution collaborative de problème


La durée d’une session de résolution collaborative de problèmes est de 5 séances, généralement réparties sur une durée de 5 semaines. Cet étalement dans le temps permet d’organiser sereinement les échanges à distance entre des enseignants d’établissements (voir d’académies ou de pays) différents, en se réservant la possibilité de prendre en charge quelques imprévus.

Les classes inscrites sont réparties en «équipes » de 3 classes, de niveaux voisins, c'est-à-dire avec un niveau d’écart curriculaire, voire deux. Le choix du nombre de classes par équipe est lié à la gestion des échanges : s’il fallait échanger avec un trop grand nombre d’interlocuteurs, il faudrait choisir entre privilégier la quantité et la qualité du contenu des échanges. Des groupes de deux classes seraient certes plus souples - quelques expériences ont été tentées - mais aussi plus fragiles, par exemple en cas de désistement d’une classe ou de perturbations imprévues. Les classes d’une même équipe sont de niveaux voisins pour ne pas créer de trop grands écarts entre les connaissances.


Les classes vont travailler séparément pendant chacune des 5 séances, mais échangeront avec les autres classes de leur équipe, en envoyant et en recevant des documents (textes, figures, schémas saisis sous la forme de fichiers texte ou scannés, fichiers tableur ou de géométrie dynamique...) par l’intermédiaire leur professeur qui a en charge la gestion des échanges via une plateforme Internet. Ces échanges ne sont pas censurés par le professeur, qui laisse s’échanger questions, réponses, procédures de résolution, protocoles, résultats partiels corrects ou non. Il est à noter que les avancées technologiques sur les chats ou la visio-conférence, outils qui pourraient être utilisés comme modes d’échanges entre classes, n’ont pas modifié l’organisation technique d’une session de résolution collaborative depuis 2001. En effet, ce mode de communication, moins aisé que des échanges oraux et qui complexifie l’argumentation, rend indispensable le passage à l'écrit : rédiger une synthèse des travaux avant chaque envoi permet d'éclaircir et d'affiner des idées qui, exprimées oralement, resteraient parfois à l'état d'ébauches. Ce sont la rigueur exigée par l’écrit argumentatif et la pertinence des modes de représentation qui vont permettre de convaincre.


Les deux premières séances : échanges de questions et réponses.

Lors de la première séance, chaque classe prend connaissance de l’énoncé du problème. En référence aux travaux d’Arsac et Mante (2007), les recherches débutent par un travail individuel pour favoriser la dévolution du problème, puis les élèves travaillent par petits groupes (la constitution des groupes et le nombre d’élèves sont laissés à la discrétion des enseignants). Les élèves ont pour consigne de rédiger des questions à propos de la situation qui leur est proposée, en demandant à leurs correspondants tous les éclaircissements et précisions qui leur manquent a priori (le champ de ces questions est bien trop vaste pour être précisé pour l’instant).
Les élèves sont souvent décontenancés par l’apparente absence de mathématiques dans le sujet ; il n’est pas rare d’entendre des élèves demander pourquoi on leur donne ce travail en cours de mathématiques. Les élèves rédigent des questions, mathématiques ou non-mathématiques; en rédigeant ces questions, une réflexion débute déjà sur les réponses à y apporter, ce qui permettra aux élèves de faire des choix argumentés dans la suite du travail. La séance s’achève par une mise en  commun des questions et des réflexions pour un envoi vers les autres classes de l’équipe. Les questions doivent être en nombre réduit (moins de 10 questions par classe) et il faut aller à l’essentiel pour rendre possible la phase de traitement de ces questions par les autres classes de l’équipe.


Lors de la séance suivante, avec le même dispositif de classe, les élèves tentent de répondre aux questions des autres classes. À de nombreuses reprises, les élèves constatent que leurs pairs ont posé des questions proches des leurs. Cela est source d’embarras, mais il faut bien décider de certains choix pour progresser dans les recherches ou tout du moins dans une direction possible : ces choix sont faits par des groupes d’élèves, qui les argumentent pour convaincre leurs camarades de classe et permettent d’apporter des réponses à certaines questions posées. Selon le problème cherché, des élèves se lancent dans des recherches, certains choix étant évidents à leurs yeux ; ils formulent les premières conjectures et les rédigent en tentant de persuader leurs interlocuteurs. En fin de séance, une mise en commun est effectuée, puis les réponses et réflexions sont envoyées aux autres classes de l’équipe.


La relance

Après cette première phase d’exploration du problème par un questionnement sur la situation et sur les objets mathématiques, un texte de relance est envoyé à toutes les classes. Ce document, rédigé par les membres du groupe ResCo, prend en  compte les échanges observés sur la plateforme les deux premières semaines (questions, réponses, choix proposés par les élèves), et il s’appuie sur l’analyse a priori du problème mathématique, qui sera l’objet de la recherche dans les phases suivantes de la session de résolution collaborative.
L’objectif de la relance est de clarifier les choix pertinents et de faire travailler les élèves sur le même problème mathématique issu des réflexions de la majorité des élèves. Sans induire aucune procédure, elle permet de fixer des choix communs à toutes les classes et de recentrer les recherches autour d’une même problématique ; elle oriente parfois le travail dans une direction particulière (simplification du problème), propose plusieurs questions connexes (sous-problèmes, problèmes liés à une situation voisine) ou approfondissements (généralisations).
Ce texte, qui est le seul apport extérieur à la communauté des élèves, n’en est pas moins important : c’est un document « officiel » , signé par l’universitaire du groupe ResCo, il s’adresse directement aux élèves, leur montre qu’un chercheur en mathématiques, qui a observé leur travail, en considère la qualité et souhaite les aider. Les préconisations écrites dans ce texte revêtent donc pour les élèves une très grande importance et sont très largement suivies, d’autant mieux qu’elles émanent directement des choix faits par les élèves eux-mêmes.

Les deux séances suivantes : la recherche du problème mathématique

La troisième semaine, les élèves découvrent les réponses des autres classes ainsi que la relance : ils vont alors poursuivre leurs recherches selon les directions préconisées par la relance. Deux séances sont consacrées exclusivement à la recherche d’une solution du problème maintenant définitivement mathématisé. Ces deux séances sont nécessaires car le problème cherché est mathématiquement dense et demande beaucoup de temps pour obtenir des solutions même partielles. Pour privilégier le temps de recherche par rapport à celui de mise en commun, aucun échange entre les classes n’est prévu entre les deux séances.
La quatrième semaine se termine par la rédaction d’un bilan dans chaque petit groupe d’élèves. Le professeur rassemble ces travaux, en réalise une synthèse qui est expédiée aux autres classes.


La synthèse individuelle

À la suite de ces deux séances de recherche du problème mathématique, il est demandé à chaque élève de réaliser, en dehors du temps scolaire, une synthèse individuelle sous une forme proche d’une narration de recherche (Bonafé et al. , 2002) ; la différence principale tient au fait que la narration de recherche s’écrit en direct, pendant la recherche, alors que cette synthèse reporte le moment de l’écriture ; on peut faire l’hypothèse que l’on perd ainsi une part des recherches effectives ainsi que la part de spontanéité typique des narrations de recherche. Les élèves doivent décrire les méthodes qu’ils ont utilisées (en critiquant éventuellement leur pertinence), dégager les  résultats obtenus dans leur groupe (même s’ils ne sont que partiels). On leur demande également de poursuivre une des pistes de recherches qu’ils n’avaient pas eu le temps d’explorer en classe ou que le groupe avait rejetée. Les élèves sont enfin invités à décrire leur ressenti personnel vis-à-vis de ce travail au sein du groupe : intervention personnelle dans le groupe, qualité des échanges, organisation du travail, etc. 
Après une recherche étalée sur 5 semaines, ce travail de mise au clair de leurs idées permet aux élèves de se préparer au débat en classe et de faire émerger des procédures qui n’auraient pas été retenues par le groupe.

Débat scientifique et clôture de la recherche

La recherche s’achevant, il est essentiel de clôturer le problème. L’universitaire, qui a un regard extérieur sur les travaux des élèves et une expertise mathématique, envoie une clôture du problème à tous les enseignants où sont exposées les mathématiques travaillées ainsi que les solutions trouvées. Il peut donner des éléments de solutions à destination des enseignants et, le cas échéant, proposer des prolongements au problème.
Pour cette dernière séance, le professeur, qui jusque-là était très en retrait, «reprend la main » et organise un débat  scientifique, alimenté par les travaux des autres classes, renforcé par les synthèses individuelles et les éventuelles nouvelles procédures qui y figurent.
La séance de clôture doit permettre d’insister sur différents aspects de la démarche scientifique : utilisation de modèles mathématiques pour représenter des objets réels, démarche par essais successifs organisés, allers retours entre différents cadres, travail sur les conjectures (formulation, confrontation, argumentation, validation ou invalidation), d’institutionnaliser certaines connaissances ; de valider ou invalider définitivement les résultats et procédures; de faire le point sur ce qui a été démontré, sur les nouvelles connaissances rencontrées et sur les questions qui restent encore en suspens. 
Le groupe ResCo fait l’hypothèse que cette séance de clôture participe à une modification du regard porté sur les  mathématiques, dans le sens où chercher en mathématiques n’est pas nécessairement aboutir à une solution définitive :  l’activité de recherche permet de dégager des résultats partiels et elle provoque aussi des « bénéfices collatéraux » non initialement prévus : mettre à jour de nouvelles connaissances, découvrir de nouvelles méthodes.