Qu'est-ce qu'un problème de recherche ?

Texte adapté de Front (2015)

Rappelons tout d’abord la définition de Brun du problème :
Dans une perspective psychologique, un problème est généralement défini comme une situation initiale avec un but à atteindre, demandant à un sujet d’élaborer une suite d’actions ou d’opérations pour atteindre ce but. Il n’y a problème que dans un rapport sujet / situation, où la solution n’est pas disponible d’emblée, mais possible à construire. C’est dire aussi que le problème pour un sujet donné peut ne pas être un problème pour un autre sujet, en fonction de leur niveau de développement intellectuel par exemple. (Brun, 1990, p.2)
Cette première approche de la notion de problème est suffisamment générale pour qu’elle s’adapte à une classe bien plus vaste que celle des problèmes d’arithmétique à l’école primaire qui fait l’objet de l’article de Julo. Elle recoupe d’ailleurs les mêmes interrogations que celles de Hilbert lorsque celui-ci introduit les grands problèmes du XXe siècle :
[...] un problème mathématique doit être difficile, mais non pas inabordable, sinon il se rit de nos effort ; il doit au contraire être un véritable fil conducteur à travers les dédales du labyrinthe vers les vérités cachées, et nous récompenser de nos efforts par la joie que nous procure la découverte de la solution.

Que ce soient les problèmes non résolus qui se présentent à la communauté mathématique, ou les problèmes pour l’enseignement, un problème mathématique se doit d’être robuste et en même temps doit se laisser aborder, questionner, explorer. C’est bien entendu une caractéristiques que nous retiendrons et qui doit permettre à l'élève un engagement dans une interaction avec le milieu et la constatation de l’inefficacité des premières procédures envisagées. Bien entendu, ces définitions du problème mathématique renvoient explicitement aux sujets. La robustesse du problème est donc alors à considérer relativement aux connaissances des sujets et à l’activité qu’ils sont amenés à développer. Pour Perrin, c’est également dans l’activité engendrée par un problème mathématique que l’on retrouve des similitudes entre sujets qu’ils soient mathématiciens ou élèves :
Mon point de départ est le document d’accompagnement des programmes de mathématiques de l’école primaire, et précisément le paragraphe qui concerne les « problèmes pour chercher ». Je cite le document en question : (Il s’agit) de véritables problèmes de recherche, pour lesquels (les élèves) ne disposent pas de solution déjà éprouvée et pour lesquels plusieurs démarches de résolution sont possibles. C’est alors l’activité même de résolution de problème qui est privilégiée, dans le but de développer chez les élèves un comportement de recherche et des compétences d’ordre méthodologique : émettre des hypothèses et les tester, élaborer une solution originale et en éprouver la validité, argumenter. Je souscris tout à fait à cette vision de l’activité de recherche, qui est voisine de ma propre pratique, non seulement dans ma fonction de  chercheur, mais aussi, mais surtout, dans mon activité quotidienne d’enseignant. En particulier j’utilise systématiquement, pour résoudre des problèmes, une méthode que je n’hésite pas à qualifier d’expérimentale. J’appelle ici problème une question mathématique, en général ouverte, soit que je me la sois posée tout seul, soit qu’elle me l’ait été par un collègue ou un étudiant. (Perrin, 2007, p.7)
Pour Perrin c’est la dimension expérimentale de l’activité mathématique engendrée qui va également caractériser un problème mathématique. Mais il est à noter que pour certains mathématiciens, l’activité liée à un problème mathématique peut être autre. Des avancées mathématiques peuvent ainsi se concevoir dans un cadre formel et déductif.

Mais, dans la mesure ou nous ne considérons pas ici les problématiques formelles, par exemple de structuration des théories mathématiques, nous pouvons associer au terme problème un autre point de vue, celui des « objets à savoir » ou « objets d’étude » de Duchet. Pour Duchet, En mathématiques, « faire de la science » suppose la rencontre par le sujet d’un « objet de science », d’un domaine de réalité problématique faisant question, devenant objet d’étude, (Duchet et Mainguené, 2003, p.5)
Duchet insiste sur la nature de cet objet de la recherche : il importe de noter que si l’objet de recherche est lié au « Savoir » qui en permet sa présentation et sa description, il ne peut se confondre avec lui : il n’est en effet objet de recherche qu’en tant qu’il est inconnu : l’objet de recherche est « objet à savoir », non « objet de savoir ». Cette expression d’ « objet à savoir » pourrait paraître ambiguë. Il ne faut ainsi pas l’entendre au sens d’objet qu’il est indispensable de connaître comme « une leçon à savoir » mais bien comme un objet qui va faire l’objet d’une étude qui permettra potentiellement de le connaître.

Avec les restrictions que nous avons proposées, le problème tel que nous l’entendons se rapproche désormais de " l’exploration d’un objet à savoir ". Du point de vue épistémologique, c’est l’hypothèse que nous soutenons.

Attention, le problème tel que nous l'entendons va définir le projet commun, donner le sens de l’action. Bien entendu, il ne permet pas, en soi, les apprentissages pour tous. C’est la mise en œuvre de la situation qui doit s’assurer de ce point. Nous revenons dans une section connexe sur la mise en œuvre effective d’une Situation Didactique de Recherche de Problème, qui se doit de posséder des caractéristiques qui permettent l’évolution et le suivi de la relation des sujets aux objets et aux savoirs en jeu.